Postoje li problemi u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam?
U domenu teorije računske složenosti, posebno kada se ispituju klase kompleksnosti prostora, odnos između PSPACE i NP je od značajnog interesa. Da direktno odgovorimo na pitanje: da, postoje problemi u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam. Ova tvrdnja je ukorijenjena u definicijama i odnosima između ovih klasa složenosti.
PSPACE je klasa problema odlučivanja koje može riješiti Turingova mašina koristeći polinomnu količinu prostora. Drugim riječima, problem je u PSPACE-u ako postoji algoritam koji ga može riješiti koristeći količinu memorije koja je polinomna u veličini ulaza. Ova klasa obuhvata širok spektar problema, od kojih su neki prilično složeni i uključuju zamršene računske procese.
NP, s druge strane, je klasa problema odlučivanja za koje se predloženo rješenje može verificirati u polinomskom vremenu pomoću determinističke Turingove mašine. To znači da ako vam neko pruži rješenje kandidata za problem u NP, možete brzo provjeriti ispravnost tog rješenja, konkretno u polinomskom vremenu u odnosu na veličinu ulaza.
Odnos između ove dvije klase je takav da je NP podskup PSPACE. To je zato što se svaki problem koji se može provjeriti u polinomskom vremenu također može riješiti u polinomskom prostoru. Da biste razumjeli zašto, uzmite u obzir da verifikator polinomskog vremena može pročitati samo polinomski broj bitova ulaza i predloženog rješenja. Stoga se može simulirati polinomskim prostorom koji prati pozicije koje je pročitao i operacije koje je izvršio.
Međutim, nije poznato da je obrnuto tačno; to jest, nije poznato da li je PSPACE podskup NP. U stvari, rasprostranjeno je vjerovanje da PSPACE sadrži probleme koji nisu u NP, iako to nije formalno dokazano. Ovo uvjerenje se zasniva na postojanju problema u PSPACE-u za koje se čini da je potrebno više od polinomnog vremena za rješavanje, iako se mogu riješiti polinomskim prostorom.
Jedan od kanonskih primjera problema u PSPACE-u za koji se ne zna da je u NP je problem Kvantificirane Bulove formule (QBF). QBF je generalizacija problema Booleove zadovoljivosti (SAT), koji je NP-potpun. Dok SAT pita postoji li dodjela istinitih vrijednosti varijablama koja čini datu Booleovu formulu istinitom, QBF uključuje ugniježđene kvantifikatore nad varijablama, kao što je "za sve x, postoji ay tako da je formula istinita." Prisustvo ovih kvantifikatora čini QBF znatno složenijim. QBF je PSPACE-kompletan, što znači da je težak kao bilo koji problem u PSPACE-u. Da postoji NP algoritam za QBF, to bi impliciralo da je NP jednak PSPACE, rezultat koji bi bio revolucionaran i koji se široko smatra malo vjerojatnim.
Još jedan ilustrativan primjer je problem određivanja pobjednika u generaliziranim igrama, kao što su generalizirane verzije šaha ili Go, koje se igraju na N x N ploči. Ovi problemi uključuju potencijalno eksponencijalni broj poteza i konfiguracija, ali se o njima može odlučiti korištenjem polinomskog prostora sistematskim istraživanjem svih mogućih stanja igre. Ovi problemi su također PSPACE-kompletni, što dalje ukazuje na postojanje problema u PSPACE-u koji nisu u NP.
Da biste dublje ušli u to zašto se vjeruje da su određeni problemi u PSPACE izvan NP, razmotrite prirodu prostorno ograničenih računanja u odnosu na vrijeme. Polinomski prostor dozvoljava potencijalno eksponencijalan broj računskih koraka, sve dok prostor koji se koristi ostaje polinomski ograničen. Ovo je u potpunoj suprotnosti sa NP, gdje je vrijeme polinomski ograničeno. Eksponencijalno vrijeme koje dozvoljava polinomski prostor može se iskoristiti za rješavanje problema koji uključuju iscrpna pretraživanja eksponencijalno velikih prostora, kao što su oni koji se susreću u QBF-u i generaliziranim igrama.
Štaviše, postoje zamršene teorijske konstrukcije koje dodatno podržavaju razliku između PSPACE i NP. Na primjer, koncept alternacije, koji su uveli Chandra, Kozen i Stockmeyer, generalizira nedeterminizam i vodi do klase AP (alternativno polinomno vrijeme). Pokazalo se da je AP jednak PSPACE, čime se pruža drugačija perspektiva moći proračuna polinomskog prostora. Alternacija uključuje niz egzistencijalnih i univerzalnih kvantifikatora, koji odražavaju strukturu QBF-a, i prikazuje složenost svojstvenu problemima PSPACE.
Također je vrijedno napomenuti da je razdvajanje klasa složenosti fundamentalno otvoreno pitanje u teorijskoj informatici. Čuveni P vs NP problem je poseban slučaj ovog šireg istraživanja. Slično, pitanje da li je NP jednako PSPACE ostaje neriješeno. Međutim, konsenzus na terenu, zasnovan na opsežnoj studiji i prirodi poznatih problema, je da PSPACE vjerovatno sadrži probleme koji nisu u NP.
Postojanje problema u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam potkrijepljeno je definicijama i odnosima između ovih klasa složenosti, kao i konkretnim primjerima kao što su QBF i generalizirani problemi igara. Ovi primjeri ističu zamršene i potencijalno eksponencijalne računske procese kojima se može upravljati unutar polinomskog prostora, ali je malo vjerovatno da će biti ograničeni na polinomsko vrijeme, čime se stavljaju izvan područja NP.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi složenost:
- Zar PSPACE klasa nije jednaka klasi EXPSPACE?
- Da li je P klasa složenosti podskup klase PSPACE?
- Možemo li dokazati da su Np i P klasa iste pronalaženjem efikasnog polinomskog rješenja za bilo koji NP kompletan problem na determinističkom TM?
- Može li NP klasa biti jednaka klasi EXPTIME?
- Može li SAT problem biti NP potpuni problem?
- Može li problem biti u klasi složenosti NP ako postoji nedeterministička Turingova mašina koja će ga riješiti u polinomskom vremenu
- NP je klasa jezika koji imaju verifikatore polinomskog vremena
- Da li su P i NP zapravo ista klasa složenosti?
- Da li je svaki jezik bez konteksta u P klasi složenosti?
- Postoji li kontradikcija između definicije NP kao klase problema odlučivanja s verifikatorima polinomskog vremena i činjenice da problemi u klasi P također imaju verifikatore polinomskog vremena?
Pogledajte više pitanja i odgovora u Complexity