Da li je P klasa složenosti podskup klase PSPACE?
U polju teorije računske složenosti, odnos između klasa složenosti P i PSPACE je osnovna tema proučavanja. Da bismo odgovorili na upit o tome da li je klasa složenosti P podskup klase PSPACE ili su obje klase iste, bitno je razmotriti definicije i svojstva ovih klasa i analizirati njihove međusobne veze.
Klasa složenosti P (Polynomial Time) sastoji se od problema odlučivanja koji se mogu riješiti determinističkom Turingovom mašinom unutar polinomskog vremena. Formalno, jezik L pripada P ako postoji deterministička Tjuringova mašina M i polinom p(n) takvi da za svaki niz x, M odlučuje da li x pripada L u najviše p(|x|) koraka, gde je | x| označava dužinu niza x. Jednostavnije rečeno, problemi u P se mogu efikasno riješiti, pri čemu potrebno vrijeme raste najviše polinoma s veličinom ulaza.
S druge strane, PSPACE (polinomski prostor) obuhvata probleme odlučivanja koje može riješiti Turingova mašina koristeći polinomnu količinu prostora. Jezik L je u PSPACE-u ako postoji Tjuringova mašina M i polinom p(n) takvi da za svaki niz x, M odlučuje da li x pripada L koristeći najviše p(|x|) prostora. Važno je napomenuti da vrijeme potrebno za izračunavanje nije ograničeno polinomom; samo je prostor.
Da biste razumjeli odnos između P i PSPACE, razmotrite sljedeće točke:
1. Uključivanje P u PSPACE: Svaki problem koji se može riješiti u polinomskom vremenu također se može riješiti u polinomskom prostoru. To je zato što će deterministička Turingova mašina koja rješava problem u polinomskom vremenu koristiti najviše polinomnog prostora, jer ne može koristiti više prostora od broja koraka koji je potrebno. Prema tome, P je podskup PSPACE. Formalno, P ⊆ PSPACE.
2. Potencijalna jednakost P i PSPACE: Pitanje da li je P jednako PSPACE (P = PSPACE) jedan je od glavnih otvorenih problema u teoriji računske složenosti. Ako je P jednako PSPACE, to bi značilo da se svi problemi koji se mogu riješiti polinomskim prostorom mogu riješiti i u polinomskom vremenu. Međutim, trenutno ne postoje dokazi koji bi potvrdili ili opovrgli ovu jednakost. Većina teoretičara složenosti vjeruje da je P strogo sadržan u PSPACE-u (P ⊊ PSPACE), što znači da postoje problemi u PSPACE-u koji nisu u PSPACE-u.
3. Primjeri i implikacije: Razmotrite problem određivanja da li je data kvantificirana Bulova formula (QBF) istinita. Ovaj problem, poznat kao TQBF (True Quantified Boolean Formula), je kanonski PSPACE-kompletan problem. Problem je PSPACE-potpun ako je u PSPACE i svaki problem u PSPACE se može svesti na njega korištenjem redukcije polinomskog vremena. Vjeruje se da TQBF nije u P, jer zahtijeva evaluaciju svih mogućih dodjela istine varijablama, što se općenito ne može obaviti u polinomskom vremenu. Međutim, može se riješiti korištenjem polinomskog prostora rekurzivnim vrednovanjem podformula.
4. Hijerarhija klasa složenosti: Odnos između P i PSPACE može se bolje razumjeti razmatranjem šireg konteksta klasa složenosti. Klasa NP (Nedeterminističko polinomsko vrijeme) sastoji se od problema odlučivanja za koje se rješenje može provjeriti u polinomskom vremenu. Poznato je da je P ⊆ NP ⊆ PSPACE. Međutim, tačni odnosi između ovih klasa (npr. da li je P = NP ili NP = PSPACE) ostaju neriješeni.
5. Savitcheva teorema: Važan rezultat u teoriji složenosti je Savitchova teorema, koja kaže da se svaki problem rješiv u nedeterminističkom polinomskom prostoru (NPSPACE) također može riješiti u determinističkom polinomskom prostoru. Formalno, NPSPACE = PSPACE. Ova teorema naglašava robusnost klase PSPACE i naglašava da nedeterminizam ne pruža dodatnu računarsku snagu u smislu kompleksnosti prostora.
6. Praktične implikacije: Razumijevanje odnosa između P i PSPACE ima značajne implikacije za praktično računarstvo. Problemi u P se smatraju efikasno rješivim i pogodni su za primjene u realnom vremenu. Nasuprot tome, problemi u PSPACE, iako su rješivi polinomskim prostorom, mogu zahtijevati eksponencijalno vrijeme, što ih čini nepraktičnim za velike ulaze. Identifikacija da li problem leži u P ili PSPACE pomaže u određivanju izvodljivosti pronalaženja efikasnih algoritama za aplikacije u stvarnom svijetu.
7. Smjerovi istraživanja: Proučavanje pitanja P protiv PSPACE i dalje je aktivno područje istraživanja. Napredak u ovoj oblasti mogao bi dovesti do napretka u razumijevanju fundamentalnih ograničenja računanja. Istraživači istražuju različite tehnike, kao što su složenost kola, interaktivni dokazi i algebarske metode, kako bi stekli uvid u odnose između klasa složenosti.
Klasa složenosti P je zaista podskup PSPACE-a, jer se svaki problem koji se može riješiti u polinomskom vremenu također može riješiti u polinomskom prostoru. Međutim, da li je P jednako PSPACE ostaje otvoreno pitanje u teoriji računske složenosti. Preovlađujuće uvjerenje je da je P strogo sadržan u PSPACE-u, što ukazuje da postoje problemi u PSPACE-u koji nisu u P. Ovaj odnos ima duboke implikacije i na teorijske i praktične aspekte računarstva, usmjeravajući istraživače u njihovoj potrazi za razumijevanjem prave prirode složenost računanja.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi složenost:
- Zar PSPACE klasa nije jednaka klasi EXPSPACE?
- Možemo li dokazati da su Np i P klasa iste pronalaženjem efikasnog polinomskog rješenja za bilo koji NP kompletan problem na determinističkom TM?
- Može li NP klasa biti jednaka klasi EXPTIME?
- Postoje li problemi u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam?
- Može li SAT problem biti NP potpuni problem?
- Može li problem biti u klasi složenosti NP ako postoji nedeterministička Turingova mašina koja će ga riješiti u polinomskom vremenu
- NP je klasa jezika koji imaju verifikatore polinomskog vremena
- Da li su P i NP zapravo ista klasa složenosti?
- Da li je svaki jezik bez konteksta u P klasi složenosti?
- Postoji li kontradikcija između definicije NP kao klase problema odlučivanja s verifikatorima polinomskog vremena i činjenice da problemi u klasi P također imaju verifikatore polinomskog vremena?
Pogledajte više pitanja i odgovora u Complexity