Izračunljiva funkcija, u kontekstu teorije računske složenosti, odnosi se na funkciju koja se može efikasno izračunati pomoću algoritma. To je fundamentalni koncept u oblasti računarske nauke i igra važnu ulogu u razumevanju granica računarstva.
Da bismo definirali izračunljivu funkciju, moramo uspostaviti formalni okvir koji nam omogućava da razmišljamo o mogućnostima i ograničenjima računskih modela. Jedan takav okvir je Turingova mašina, koju je uveo Alan Turing 1936. godine. Turingova mašina je apstraktni matematički model koji se sastoji od trake podeljene na ćelije, glave za čitanje i pisanje i skupa stanja. Mašina radi tako što čita simbol na trenutnoj ćeliji, prelazi u novo stanje na osnovu trenutnog stanja i simbola i mijenja simbol na trenutnoj ćeliji. Takođe može da pomeri glavu za čitanje i upisivanje za jednu ćeliju ulevo ili udesno.
U kontekstu Turingovih strojeva, izračunljiva funkcija je definirana kao funkcija za koju postoji Turingova mašina koja, s obzirom na bilo koji ulaz, zaustavlja i proizvodi ispravan izlaz za taj ulaz. Drugim riječima, funkcija je izračunljiva ako postoji algoritam koji može izračunati njenu vrijednost za bilo koji dati ulaz. Ovaj koncept je usko povezan sa pojmom odlučivosti, koji se odnosi na sposobnost da se utvrdi da li dati input zadovoljava određeno svojstvo.
Pojam izračunljivih funkcija može se dalje formalizirati korištenjem koncepta vremenske složenosti. Vremenska složenost mjeri količinu vremena potrebnog algoritmu da riješi problem kao funkciju veličine ulaza. Kaže se da je funkcija izračunljiva u polinomskom vremenu ako postoji Turingova mašina koja može izračunati funkciju u više koraka koji je polinomski po veličini ulaza. Funkcije koje se izračunavaju polinomskim vremenom smatraju se efikasnim, jer njihovo vrijeme rada raste najviše polinomno s veličinom ulaza.
Da bismo ilustrirali koncept izračunljivih funkcija, razmotrimo funkciju koja određuje da li je dati broj prost. Ova funkcija uzima ulaz n i vraća true ako je n prost i netačno u suprotnom. Funkcija testiranja primarnosti je izračunljiva, jer postoji algoritam, kao što je Eratostenovo sito, koji može odrediti primarnost bilo kojeg datog broja.
Nasuprot tome, uzmite u obzir funkciju koja određuje hoće li se dati program zaustaviti na određenom ulazu. Ova funkcija, poznata kao problem zaustavljanja, nije izračunljiva. To je dokazao Alan Turing 1936. godine, koristeći tehniku poznatu kao dijagonalizacija. Turingov dokaz je pokazao da ne može postojati algoritam koji može odlučiti, za bilo koji dati program i ulaz, da li će se program zaustaviti ili pokrenuti zauvijek.
Izračunljiva funkcija u kontekstu teorije računske složenosti odnosi se na funkciju koja se može efikasno izračunati pomoću algoritma. To je fundamentalni koncept u kompjuterskoj nauci i usko je povezan sa pojmom odlučivosti. Koncept izračunljivih funkcija je formaliziran korištenjem Turingovih mašina i vremenske složenosti. Iako su mnoge funkcije izračunljive, postoje i funkcije, kao što je problem zaustavljanja, koje dokazano nisu izračunljive.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Izračunave funkcije:
- Šta znači da različite varijacije Turingovih mašina budu ekvivalentne u računarskim sposobnostima?
- Objasnite odnos između izračunljive funkcije i postojanja Turingove mašine koja je može izračunati.
- Koje je značenje da se Turingova mašina uvijek zaustavlja kada izračunava izračunljivu funkciju?
- Može li se Turingova mašina modificirati tako da uvijek prihvata funkciju? Objasnite zašto ili zašto ne.
- Kako Turingova mašina izračunava funkciju i koja je uloga ulaznih i izlaznih traka?