Opišite proces poređenja dva algoritma da biste utvrdili da li obavljaju isti zadatak i zašto je to općenito neodlučiv problem.
U području teorije računske složenosti, određivanje da li dva algoritma izvršavaju isti zadatak je neodlučiv problem. To znači da ne postoji opći algoritam ili procedura koja uvijek može odrediti da li su dva algoritma ekvivalentna u smislu zadataka koje obavljaju. U ovom odgovoru ćemo opisati proces poređenja dva algoritma i objasniti zašto je ovaj problem neodlučiv.
Da bismo uporedili dva algoritma, moramo analizirati njihovo ponašanje i utvrditi da li proizvode iste izlaze za sve moguće ulaze. Jedan uobičajeni pristup je korištenje ekvivalencije Turingovih mašina, što je teorijski model izračunavanja koji obuhvata koncept algoritamskog izračunavanja. Turing mašine se sastoje od trake, glave za čitanje i upisivanje i skupa stanja, i mogu da obavljaju različite operacije na traci na osnovu svog trenutnog stanja i simbola ispod glave za čitanje i upisivanje.
Da bismo uporedili dva algoritma koristeći Turingove mašine, možemo konstruisati dve Turingove mašine koje predstavljaju algoritme o kojima je reč. Ove Turingove mašine treba da imaju iste ulazne i izlazne abecede, i treba da simuliraju ponašanje algoritama na svim mogućim ulazima. Ako dvije Turingove mašine proizvode isti izlaz za sve ulaze, možemo zaključiti da algoritmi obavljaju isti zadatak.
Međutim, određivanje da li su dvije Turingove mašine ekvivalentne je neodlučiv problem. To znači da ne postoji algoritam koji uvijek može odrediti da li dvije Turingove mašine proizvode isti izlaz za sve ulaze. Dokaz ovog rezultata zasniva se na konceptu problema zaustavljanja, koji kaže da ne postoji algoritam koji može odrediti da li se data Turingova mašina zaustavlja na datom ulazu.
Da biste vidjeli zašto je problem poređenja dva algoritma neodlučiv, razmotrite sljedeći scenarij. Pretpostavimo da imamo dva algoritma A i B i želimo da utvrdimo da li oni obavljaju isti zadatak. Možemo konstruisati dve Turingove mašine TA i TB koje simuliraju ponašanje A i B, respektivno. Ako postoji algoritam koji može odlučiti da li su TA i TB ekvivalentni, možemo ga koristiti da riješimo problem zaustavljanja. Konkretno, možemo konstruirati Turingovu mašinu TH koja simulira ponašanje date Turingove mašine T na datom ulazu I, i vraća "zaustavljanje" ako se T zaustavi na I i "petlju" u suprotnom. Koristeći hipotetički algoritam za poređenje Turingovih mašina, možemo utvrditi da li su TH i Tjuringova mašina koja se uvek zaustavlja na svim ulazima ekvivalentni. Ako su ekvivalentni, to znači da se TH zaustavlja na I; inače, to znači da se TH vrti u petlji na I. Ovo je u suprotnosti sa neodlučivosti problema zaustavljanja, što dokazuje da je problem poređenja dva algoritma neodlučiv.
Usporedba dva algoritma kako bi se utvrdilo da li obavljaju isti zadatak je neodlučiv problem. Iako možemo koristiti ekvivalentnost Turingovih mašina kao teorijski okvir za ovo poređenje, ne postoji opći algoritam koji uvijek može odlučiti da li su dva algoritma ekvivalentna. Ovaj rezultat je zasnovan na neodlučivosti problema zaustavljanja i činjenici da se problem poređenja Turingovih mašina svodi na problem zaustavljanja.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Mogućnost odlučivanja:
- Može li traka biti ograničena na veličinu ulaza (što je ekvivalentno ograničenju glave Turing mašine da se kreće izvan ulaza TM trake)?
- Šta znači da različite varijacije Turingovih mašina budu ekvivalentne u računarskim sposobnostima?
- Može li Tjuringov prepoznatljiv jezik činiti podskup jezika koji se može odlučiti?
- Da li je problem zaustavljanja Turingove mašine rešiv?
- Ako imamo dva TM-a koji opisuju jezik koji se može odlučiti, da li je pitanje ekvivalencije još uvijek neodlučivo?
- Kako se problem prihvatanja za linearne ograničene automate razlikuje od onog kod Turingovih mašina?
- Navedite primjer problema koji se može riješiti linearno ograničenim automatom.
- Objasniti koncept odlučivosti u kontekstu linearno ograničenih automata.
- Kako veličina trake u linearno ograničenim automatima utječe na broj različitih konfiguracija?
- Koja je glavna razlika između linearno ograničenih automata i Turingovih mašina?
Pogledajte više pitanja i odgovora u Decidability