Da bismo se pozabavili pitanjem da li Tjuringov prepoznatljiv jezik može formirati podskup jezika koji se može odlučiti, bitno je razmotriti fundamentalne koncepte teorije računske složenosti, posebno fokusirajući se na klasifikacije jezika zasnovane na njihovoj odlučivosti i prepoznatljivosti.
U teoriji računske složenosti, jezici su skupovi nizova preko neke abecede i mogu se klasificirati na osnovu vrste računskih procesa koji ih mogu prepoznati ili odlučiti. Jezik se zove Turing prepoznatljiv (ili rekurzivno nabrojiv) ako postoji Turingova mašina koja će zaustaviti i prihvatiti bilo koji niz koji pripada jeziku. Međutim, ako string ne pripada jeziku, Turingova mašina ga može ili odbiti ili raditi neograničeno bez zaustavljanja. S druge strane, jezik jeste odlučiti (ili rekurzivno) ako postoji Tjuringova mašina koja će se uvek zaustaviti i ispravno odlučiti da li bilo koji niz pripada jeziku ili ne.
Definicije i svojstva
1. Turing prepoznatljivi jezici:
– Jezik ( L ) je Tjuringov prepoznatljiv ako postoji Turingova mašina ( M ) takva da za bilo koji niz ( w ):
– Ako ( w u L ), onda ( M ) na kraju stane i prihvata ( w ).
– Ako ( bez L ), onda ( M ) ili odbija ( w ) ili radi zauvijek bez zaustavljanja.
2. Odlučivi jezici:
– Jezik ( L ) je odlučujući ako postoji Turingova mašina ( M ) takva da za bilo koji niz ( w ):
– Ako ( w u L ), onda ( M ) na kraju stane i prihvata ( w ).
– Ako ( bez L ), onda ( M ) se na kraju zaustavlja i odbija ( w ).
Iz ovih definicija jasno je da je svaki jezik koji se može odlučiti također Tjuringov prepoznatljiv jer će Tjuringova mašina koja odlučuje o jeziku uvijek stati i dati odgovor, a time i prepoznati jezik. Međutim, obrnuto nije nužno tačno jer Tjuringov prepoznatljiv jezik ne garantuje da će se Tjuringova mašina zaustaviti za nizove koji nisu u jeziku.
Odnos podskupa
Da biste utvrdili može li Turingov prepoznatljiv jezik činiti podskup jezika koji se može odlučiti, razmotrite sljedeće:
- Definicija podskupa: Jezik ( A ) je podskup jezika ( B ), označen kao ( A podskup B ), ako je svaki niz u ( A ) također u ( B ). Formalno, (za sve w u A, w u B).
S obzirom na to da je svaki jezik koji se može odlučiti također Tjuringovski prepoznatljiv, moguće je da Tjuringov prepoznatljiv jezik bude podskup jezika koji se može odlučiti. To je zato što se odlučivi jezik (B) može posmatrati kao Turingov prepoznatljiv jezik sa dodatnim svojstvom da se zaustavlja na svim ulazima. Prema tome, ako je (A) Tjuringov prepoznatljiv i (B) je odlučujući, i ako je svaki niz u (A) također u (B), onda (A) zaista može biti podskup (B).
Primjeri i ilustracije
Da biste ilustrirali ovaj koncept, razmotrite sljedeće primjere:
1. primjer 1:
– Neka (L_1) bude jezik svih stringova koji kodiraju važeće C programe koji se zaustavljaju kada im se ne unosi. Poznato je da je ovaj jezik odlučujući jer možemo konstruisati Turingovu mašinu koja simulira svaki C program i određuje da li se zaustavlja.
– Neka (L_2) bude jezik svih stringova koji kodiraju važeće C programe. Ovaj jezik je Tjuringov prepoznatljiv jer možemo konstruisati Turingovu mašinu koja proverava da li je string ispravan C program.
– Jasno, ( L_2 subseteq L_1 ) zato što je svaki važeći C program (bez obzira da li se zaustavlja ili ne) ispravan niz u jeziku zaustavljanja C programa.
2. primjer 2:
– Neka ( L_3 ) bude jezik koji se sastoji od svih nizova preko abecede ( {0, 1} ) koji predstavljaju binarne brojeve djeljive sa 3. Ovaj jezik je odlučujući jer možemo konstruirati Turingovu mašinu koja vrši dijeljenje i provjerava ostatak od nule.
– Neka je ( L_4 ) jezik koji se sastoji od svih binarnih nizova koji predstavljaju proste brojeve. Ovaj jezik je Tjuringov prepoznatljiv jer možemo konstruisati Turingovu mašinu koja provjerava primarnost testiranjem djeljivosti.
– U ovom slučaju, ( L_4 ) nije podskup ( L_3 ), ali ako uzmemo u obzir jezik ( L_5 ) binarnih nizova koji predstavljaju brojeve djeljive sa 6 (koji je i djeljiv sa 3 i paran), tada ( L_5 podskup L_3 ).
Odlučivost i međuigra prepoznatljivosti
Interigra između jezika koji se može odlučiti i jezika koji je prepoznatljiv po Turingu otkriva nekoliko važnih aspekata:
- Closure Properties: Odlučivi jezici su zatvoreni pod unijom, ukrštanjem i dopunom. To znači da ako su ( L_1 ) i ( L_2 ) odlučujući, tako su i ( L_1 čaša L_2 ), ( L_1 kapa L_2 ) i ( overline{L_1} ) (komplement od ( L_1 )).
- Turing prepoznatljivi jezici: Oni su zatvoreni pod spojem i ukrštanjem, ali ne nužno pod dopunom. To je zato što komplement Tjuringovog prepoznatljivog jezika možda neće biti Tjuringov prepoznatljiv.
Praktične implikacije u sajber sigurnosti
Razumijevanje odnosa između Tjuringovih prepoznatljivih i odlučujućih jezika ima praktične implikacije u sajber sigurnosti, posebno u kontekstu verifikacije programa i otkrivanja zlonamjernog softvera:
- Verifikacija programa: Osigurati da se program ponaša ispravno za sve ulaze je problem koji se može riješiti za specifične klase programa. Na primjer, provjera da algoritam za sortiranje ispravno sortira bilo koju ulaznu listu može se uokviriti kao problem koji se može riješiti.
- Otkrivanje zlonamjernog softvera: Otkrivanje da li je dati program zlonamjeran može se uokviriti kao Turingov prepoznatljiv problem. Na primjer, određene heuristike ili obrasci mogu se koristiti za prepoznavanje poznatog zlonamjernog softvera, ali utvrđivanje da li je bilo koji proizvoljni program zlonamjeran (problem otkrivanja zlonamjernog softvera) je neodlučivo u općenitom slučaju.
zaključak
U suštini, Turingov prepoznatljiv jezik zaista može činiti podskup jezika koji se može odlučiti. Ovaj odnos naglašava hijerarhijsku strukturu jezičkih klasa u teoriji računske složenosti, gdje jezici koji se mogu odlučiti predstavljaju ograničeniji podskup Turingovih prepoznatljivih jezika. Ovo razumevanje je važno za različite primene u računarskoj nauci i sajber bezbednosti, gde sposobnost prepoznavanja i odlučivanja jezika igra ključnu ulogu u obezbeđivanju ispravnosti i bezbednosti računarskih sistema.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Mogućnost odlučivanja:
- Može li traka biti ograničena na veličinu ulaza (što je ekvivalentno ograničenju glave Turing mašine da se kreće izvan ulaza TM trake)?
- Šta znači da različite varijacije Turingovih mašina budu ekvivalentne u računarskim sposobnostima?
- Da li je problem zaustavljanja Turingove mašine rešiv?
- Ako imamo dva TM-a koji opisuju jezik koji se može odlučiti, da li je pitanje ekvivalencije još uvijek neodlučivo?
- Kako se problem prihvatanja za linearne ograničene automate razlikuje od onog kod Turingovih mašina?
- Navedite primjer problema koji se može riješiti linearno ograničenim automatom.
- Objasniti koncept odlučivosti u kontekstu linearno ograničenih automata.
- Kako veličina trake u linearno ograničenim automatima utječe na broj različitih konfiguracija?
- Koja je glavna razlika između linearno ograničenih automata i Turingovih mašina?
- Opišite proces transformacije Turingove mašine u skup pločica za PCP i kako ove pločice predstavljaju istoriju računanja.
Pogledajte više pitanja i odgovora u Decidability