Koja je opća logika iza dokaza smanjenjem u teoriji složenosti računara?
Dokaz redukcijom je osnovna tehnika u teoriji složenosti računanja koja se koristi za utvrđivanje neodlučivosti problema. Ova tehnika uključuje transformaciju instance poznatog neodlučivog problema u instancu problema koji se istražuje, čime se pokazuje da je problem koji se istražuje također neodlučiv. Opća logika iza dokaza redukcijom leži u konceptu reducibilnosti, koji nam omogućava da preslikamo instance jednog problema u instance drugog problema na način koji čuva rješenje.
Da bismo razumjeli kako funkcioniraju dokazi redukcijom, bitno je shvatiti pojam odlučivosti. U teoriji računske složenosti, za problem se kaže da se može odlučiti ako postoji algoritam koji može odrediti tačan odgovor za svaku instancu problema. Suprotno tome, problem je neodlučiv ako ne postoji algoritam koji uvijek može dati tačan odgovor za svaku instancu problema.
U kontekstu dokaza redukcijom, počinjemo s poznatim neodlučivim problemom, označenim kao problem A. Zatim želimo pokazati da je drugi problem, označen kao problem B, također neodlučiv. Da bismo to učinili, pretpostavljamo da je problem B riješiv i konstruiramo redukciju od problema A do problema B. Ova redukcija preslikava instance problema A na instance problema B na takav način da se rješenje problema A može odrediti ispitivanjem rješenje problema B.
Redukcija se obično postiže konstruiranjem izračunljive funkcije, nazvane redukciona funkcija, koja pretvara instance problema A u instance problema B. Funkcija redukcije treba da zadovolji dva ključna svojstva:
1. Ispravnost: Funkcija redukcije treba da sačuva rješenje. To jest, ako instanca problema A ima pozitivan (ili negativan) odgovor, odgovarajuća instanca problema B također treba imati pozitivan (ili negativan) odgovor.
2. Izračunljivost: Funkcija redukcije bi trebala biti izračunljiva, što znači da se može implementirati pomoću algoritma koji se zaustavlja za svaki ulaz.
Pretpostavljajući odlučivost problema B i konstruišući redukciju od problema A do problema B, dobijamo kontradikciju. Kada bi problem B bio odlučiv, onda bi i problem A bio odlučiv, što je u suprotnosti sa početnom pretpostavkom da je problem A neodlučiv. Stoga zaključujemo da i problem B mora biti neodlučiv.
Da bismo ilustrirali ovu tehniku, razmotrimo poznati primjer problema zaustavljanja, za koji se zna da je neodlučiv. Pretpostavimo da želimo da dokažemo neodlučivost problema C. Pretpostavljamo da je problem C odlučiv i konstruišemo redukciju od problema zaustavljanja (problem A) do problema C (problem B). Definiramo funkciju redukcije koja kao ulaz uzima Turingovu mašinu M i ulazni niz w i konstruira instancu problema C.
Funkcija redukcije radi na sljedeći način: Dati su M i w, simulira izvršenje M na w. Ako se M zaustavi na w, funkcija redukcije konstruira instancu problema C koja ima pozitivan odgovor. Ako se M ne zaustavi na w, funkcija redukcije konstruira instancu problema C koja ima negativan odgovor.
Pretpostavljajući odlučivost problema C i konstruišući redukciju od problema zaustavljanja na problem C, dobijamo kontradikciju. Pošto je poznato da je problem zaustavljanja neodlučiv, zaključujemo da i problem C mora biti neodlučiv.
Dokaz redukcijom u teoriji računske složenosti zasniva se na konceptu reducibilnosti. Pretpostavljajući odlučivost problema i konstruirajući redukciju iz poznatog neodlučivog problema, možemo pokazati da je problem koji se istražuje također neodlučiv.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Mogućnost odlučivanja:
- Može li traka biti ograničena na veličinu ulaza (što je ekvivalentno ograničenju glave Turing mašine da se kreće izvan ulaza TM trake)?
- Šta znači da različite varijacije Turingovih mašina budu ekvivalentne u računarskim sposobnostima?
- Može li Tjuringov prepoznatljiv jezik činiti podskup jezika koji se može odlučiti?
- Da li je problem zaustavljanja Turingove mašine rešiv?
- Ako imamo dva TM-a koji opisuju jezik koji se može odlučiti, da li je pitanje ekvivalencije još uvijek neodlučivo?
- Kako se problem prihvatanja za linearne ograničene automate razlikuje od onog kod Turingovih mašina?
- Navedite primjer problema koji se može riješiti linearno ograničenim automatom.
- Objasniti koncept odlučivosti u kontekstu linearno ograničenih automata.
- Kako veličina trake u linearno ograničenim automatima utječe na broj različitih konfiguracija?
- Koja je glavna razlika između linearno ograničenih automata i Turingovih mašina?
Pogledajte više pitanja i odgovora u Decidability