Ako imamo dva TM-a koji opisuju jezik koji se može odlučiti, da li je pitanje ekvivalencije još uvijek neodlučivo?
U polju teorije računske složenosti, koncept odlučivosti igra fundamentalnu ulogu. Za jezik se kaže da se može odlučiti ako postoji Turingova mašina (TM) koja može odrediti, za bilo koji dati ulaz, pripada li jeziku ili ne. Odlučivost jezika je važno svojstvo, jer nam omogućava da algoritamski razmišljamo o jeziku i njegovim svojstvima.
Pitanje ekvivalentnosti za Turingove mašine se bavi utvrđivanjem da li dva data TM-a prepoznaju isti jezik. Formalno, s obzirom na dva TM M1 i M2, pitanje ekvivalencije postavlja pitanje da li je L(M1) = L(M2), gdje L(M) predstavlja jezik koji prepoznaje TM M.
Poznato je da je opšti problem određivanja ekvivalencije dva TM-a neodlučiv. To znači da ne postoji algoritam koji uvijek može odlučiti da li dva proizvoljna TM-a prepoznaju isti jezik ili ne. Ovaj rezultat je dokazao Alan Turing u svom temeljnom radu o izračunljivosti.
Međutim, važno je napomenuti da ovaj rezultat vrijedi za opći slučaj proizvoljnih TM. U specifičnom slučaju kada oba TM opisuju jezike koji se mogu odlučiti, pitanje ekvivalencije postaje odlučivo. To je zato što su odlučujući jezici oni za koje postoji TM koji može odlučiti o članstvu u jeziku. Stoga, ako dva TM opisuju odlučive jezike, možemo konstruirati novi TM koji odlučuje o njihovoj ekvivalentnosti.
Da bismo to ilustrirali, razmotrimo primjer. Pretpostavimo da imamo dva TM M1 i M2 koji opisuju odlučive jezike. Možemo konstruirati novi TM M koji odlučuje o njihovoj ekvivalentnosti na sljedeći način:
1. S obzirom na ulaz x, simulirajte M1 na x i M2 na x istovremeno.
2. Ako M1 prihvati x, a M2 prihvati x, onda prihvati.
3. Ako M1 odbije x, a M2 odbije x, prihvatite.
4. U suprotnom, odbiti.
Po konstrukciji, TM M će prihvatiti ulaz x ako i samo ako i M1 i M2 prihvate x, ili oba M1 i M2 odbiju x. To znači da M odlučuje o ekvivalentnosti M1 i M2 za bilo koji dati ulaz x.
Dok je opšti problem određivanja ekvivalencije dva proizvoljna TM-a neodlučiv, ako TM opisuju odlučive jezike, pitanje ekvivalencije postaje odlučivo. To je zato što se o odlučujućim jezicima može odlučiti TM, što nam omogućava da konstruiramo TM koji odlučuje o njihovoj ekvivalentnosti. Odlučivost pitanja ekvivalencije za TM-ove koji opisuju jezike koji se mogu odlučiti pruža važan uvid u računsku složenost ovih jezika.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi Mogućnost odlučivanja:
- Može li traka biti ograničena na veličinu ulaza (što je ekvivalentno ograničenju glave Turing mašine da se kreće izvan ulaza TM trake)?
- Šta znači da različite varijacije Turingovih mašina budu ekvivalentne u računarskim sposobnostima?
- Može li Tjuringov prepoznatljiv jezik činiti podskup jezika koji se može odlučiti?
- Da li je problem zaustavljanja Turingove mašine rešiv?
- Kako se problem prihvatanja za linearne ograničene automate razlikuje od onog kod Turingovih mašina?
- Navedite primjer problema koji se može riješiti linearno ograničenim automatom.
- Objasniti koncept odlučivosti u kontekstu linearno ograničenih automata.
- Kako veličina trake u linearno ograničenim automatima utječe na broj različitih konfiguracija?
- Koja je glavna razlika između linearno ograničenih automata i Turingovih mašina?
- Opišite proces transformacije Turingove mašine u skup pločica za PCP i kako ove pločice predstavljaju istoriju računanja.
Pogledajte više pitanja i odgovora u Decidability