Zar PSPACE klasa nije jednaka klasi EXPSPACE?
Pitanje da li klasa PSPACE nije jednaka klasi EXPSPACE je fundamentalni i neriješen problem u teoriji računske složenosti. Da bi se pružilo sveobuhvatno razumijevanje, bitno je razmotriti definicije, svojstva i implikacije ovih klasa složenosti, kao i širi kontekst kompleksnosti prostora.
Definicije i osnovna svojstva
PSPACE: Klasa PSPACE se sastoji od svih problema odlučivanja koje može riješiti Turingova mašina koristeći polinomnu količinu prostora. Formalno, jezik L je u PSPACE-u ako postoji Tjuringova mašina M i polinomska funkcija p(n) takva da za svaki ulaz x mašina M odlučuje da li je x u L koristeći najviše p(|x|) prostora. PSPACE obuhvata širok spektar problema, uključujući one koji su rješivi u polinomskom vremenu (P) i one koji su potpuni za PSPACE, kao što je problem Kvantificirane Boolean Formule (QBF).
EXPSPACE: Klasa EXPSPACE uključuje sve probleme odlučivanja koje može riješiti Turingova mašina koristeći eksponencijalnu količinu prostora. Konkretno, jezik L je u EXPSPACE ako postoji Turingova mašina M i eksponencijalna funkcija f(n) takva da za svaki ulaz x mašina M odlučuje da li je x u L koristeći najviše 2^f(|x|) prostor. EXPSPACE je veća klasa od PSPACE, jer omogućava eksponencijalno više prostora, omogućavajući rješavanje šireg spektra problema.
Odnos između PSPACE i EXPSPACE
Da bismo razumjeli odnos između PSPACE i EXPSPACE, važno je prepoznati hijerarhiju klasa složenosti prostora. Po definiciji, PSPACE je sadržan u EXPSPACE jer svaki problem koji se može riješiti korištenjem polinomskog prostora također se može riješiti korištenjem eksponencijalnog prostora. Formalno, PSPACE ⊆ EXPSPACE. Međutim, obrnuto nije nužno tačno; široko je vjerovanje da EXPSPACE sadrži probleme koji se ne mogu riješiti korištenjem polinomskog prostora, što implicira da je PSPACE ≠ EXPSPACE.
Primjeri i implikacije
Razmotrite QBF problem, koji je PSPACE-kompletan. Ovaj problem uključuje utvrđivanje istinitosti kvantificirane Booleove formule, a može se riješiti korištenjem polinomskog prostora. Pošto je QBF PSPACE-kompletan, svaki problem u PSPACE-u se može svesti na QBF u polinomskom vremenu. S druge strane, primjer problema u EXPSPACE, ali ne nužno u PSPACE, je problem dostupnosti za naizmjenične Turingove mašine s eksponencijalnim granicama prostora. Ovaj problem zahtijeva praćenje eksponencijalno mnogo konfiguracija, što je neizvodljivo s polinomskim prostorom.
Teorema hijerarhije prostora
Teorema hijerarhije prostora pruža formalnu osnovu za vjerovanje da je PSPACE striktno sadržan u EXPSPACE. Ova teorema kaže da za bilo koju funkciju konstruišuću prostorom f(n), postoji jezik koji se može odlučiti u prostoru f(n), ali ne i u prostoru o(f(n)). Primjenjujući ovu teoremu sa f(n) = 2^n, dobijamo da postoje problemi rješivi u eksponencijalnom prostoru koji se ne mogu riješiti ni u jednom subeksponencijalnom prostoru, uključujući polinomski prostor. Stoga, teorema o hijerarhiji prostora implicira da je PSPACE striktno sadržan u EXPSPACE, tj. PSPACE ⊂ EXPSPACE.
Neriješena priroda PSPACE ≠ EXPSPACE
Uprkos snažnim dokazima koje pruža Teorem o hijerarhiji svemira, pitanje da li PSPACE nije jednak EXPSPACE ostaje neriješeno. To je zato što bi dokazivanje stroge nejednakosti PSPACE ≠ EXPSPACE zahtijevalo demonstraciju postojanja specifičnog problema u EXPSPACE koji se ne može riješiti u PSPACE, što do danas nije postignuto. Poteškoća leži u inherentnim izazovima dokazivanja razdvajanja između klasa složenosti, što je uobičajena tema u teoriji složenosti računara.
Širi kontekst i srodne klase složenosti
Odnos između PSPACE i EXPSPACE može se kontekstualizirati unutar šireg pejzaža klasa složenosti. Na primjer, klasa P (problemi rješivi u polinomskom vremenu) je podskup PSPACE, a široko je vjerovanje da je P ≠ PSPACE. Slično tome, klasa NP (nedeterminističko polinomsko vrijeme) je također sadržana u PSPACE-u, a poznati problem P protiv NP je centralno otvoreno pitanje u ovoj oblasti. Odnosi zadržavanja između ovih klasa sumirani su na sljedeći način:
– P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXPSPACE
Pored ovih klasa, postoje i druge važne klase složenosti prostora, kao što su L (logaritamski prostor) i NL (nedeterministički logaritamski prostor), koje su podskupovi PSPACE-a. Odnosi između ovih klasa dalje ilustruju hijerarhiju računske složenosti zasnovanu na zahtjevima prostora.
Pitanje da li PSPACE nije jednak EXPSPACE je fundamentalni i neriješen problem u teoriji računske složenosti. Dok teorema o hijerarhiji prostora pruža jak dokaz da je PSPACE striktno sadržan u EXPSPACE, formalni dokaz stroge nejednakosti PSPACE ≠ EXPSPACE ostaje nedostižan. Istraživanje ovog pitanja baca svjetlo na širi pejzaž klasa složenosti i inherentne izazove dokazivanja razdvajanja između njih.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi složenost:
- Da li je P klasa složenosti podskup klase PSPACE?
- Možemo li dokazati da su Np i P klasa iste pronalaženjem efikasnog polinomskog rješenja za bilo koji NP kompletan problem na determinističkom TM?
- Može li NP klasa biti jednaka klasi EXPTIME?
- Postoje li problemi u PSPACE-u za koje ne postoji poznati NP algoritam?
- Može li SAT problem biti NP potpuni problem?
- Može li problem biti u klasi složenosti NP ako postoji nedeterministička Turingova mašina koja će ga riješiti u polinomskom vremenu
- NP je klasa jezika koji imaju verifikatore polinomskog vremena
- Da li su P i NP zapravo ista klasa složenosti?
- Da li je svaki jezik bez konteksta u P klasi složenosti?
- Postoji li kontradikcija između definicije NP kao klase problema odlučivanja s verifikatorima polinomskog vremena i činjenice da problemi u klasi P također imaju verifikatore polinomskog vremena?
Pogledajte više pitanja i odgovora u Complexity