Da li svaka Turing mašina sa više traka ima ekvivalentnu Turing mašinu sa jednom trakom?
Pitanje da li svaka Turingova mašina sa više traka ima ekvivalentnu Turingovu mašinu sa jednom trakom važno je u oblasti teorije složenosti računara i teorije računanja.
Odgovor je potvrdan: svaku Turingovu mašinu sa više traka zaista može simulirati Turing mašina sa jednom trakom. Ova ekvivalencija je važna za razumijevanje računske snage Turingovih mašina i klasa problema koje oni mogu riješiti.
Turingova mašina, kako ju je prvobitno zamislio Alan Turing, je teorijski model računanja koji se sastoji od beskonačne trake, glave trake koja čita i upisuje simbole na traci i konačnog skupa stanja koja diktiraju radnje mašine na osnovu trenutno stanje i simbol koji se čita. Turingova mašina sa više traka proširuje ovaj model ugradnjom više traka, svaka sa svojom glavom. Ovo proširenje može učiniti određene proračune efikasnijim omogućavajući istovremeni pristup različitim dijelovima ulaza i međurezultata.
Da bi se razumjela ekvivalencija između Turingovih mašina s više traka i jedne trake, bitno je razmotriti proces simulacije. Ključna ideja je da Turing mašina sa jednom trakom može simulirati ponašanje Turing mašine sa više traka kodiranjem sadržaja svih traka i položaja svih glava trake na jednoj traci.
Zamislite Turingovu mašinu sa više traka sa (k) trakama. Svaka traka se može zamisliti kao beskonačan niz ćelija, od kojih svaka sadrži simbol iz konačnog alfabeta. Mašina ima (k) glave trake, jednu za svaku traku, i konačan skup stanja. Prijelazna funkcija određuje radnje stroja na osnovu trenutnog stanja i simbola ispod svake glave trake.
Da bismo simulirali ovu mašinu sa više traka sa mašinom za jednu traku, moramo da predstavimo sadržaj svih (k) traka i položaje (k) glava trake na jednoj traci. Jedan uobičajeni pristup je korištenje posebne sheme kodiranja. Na primjer, možemo koristiti simbol graničnika da odvojimo sadržaj različitih traka i dodatne markere za označavanje položaja glava trake.
Označimo abecedu Turingove mašine sa više traka sa ( Sigma ) i uvedemo specijalni simbol za razdvajanje ( # ) koji nije u ( Sigma ). Zatim možemo predstaviti sadržaj (k) traka na jednoj traci na sljedeći način:
[ # w_1 # w_2 # cdots # w_k # ]Ovdje ( w_i ) predstavlja sadržaj ( i )-te trake. Za označavanje položaja glava trake, možemo koristiti par simbola da označimo poziciju svake glave. Na primjer, ako glava na (i)-toj traci čita (j)-ti simbol (w_i), to možemo predstaviti umetanjem posebnog simbola markera, recimo (uparrow), prije (j)- th simbol od ( w_i ).
Dakle, pojedinačna traka može izgledati ovako:
[ # a_1 cdots a_{j-1} uparrow a_j cdots a_m # b_1 cdots b_n # cdots # c_1 cdots c_p # ]U ovom prikazu, (a_1 cdots a_m) je sadržaj prve trake, sa glavom pozicioniranom ispred (a_j); ( b_1 cdots b_n ) su sadržaj druge trake, i tako dalje.
Prijelazna funkcija Turingove mašine sa jednom trakom mora biti dizajnirana da simulira ponašanje mašine sa više traka. Ovo uključuje nekoliko koraka:
1. Čitanje simbola: Mašina za jednu traku mora pročitati simbole ispod svake simulirane glave trake. To radi tako što skenira traku od početka i bilježi simbole iza svakog (usprema) markera.
2. Ažuriranje stanja: Na osnovu trenutnog stanja i pročitanih simbola, mašina sa jednom trakom ažurira svoje stanje u skladu sa funkcijom tranzicije mašine sa više traka.
3. Pisanje simbola: Mašina za jednu traku upisuje nove simbole na simulirane trake. To radi tako što ponovo skenira traku i zamjenjuje simbole koji slijede svaki (usprema) marker novim simbolima.
4. Pomicanje glava: Mašina za jednu traku pomiče simulirane glave trake. Ovo uključuje pomicanje (nagore) markera ulijevo ili udesno, kao što je određeno funkcijom prijelaza mašine za više traka.
5. Ponavljanje procesa: Stroj s jednom trakom ponavlja ovaj proces za svaki prijelaz stroja s više traka.
Ova simulacija može biti precizna definisanjem formalne funkcije tranzicije za mašinu sa jednom trakom koja imitira ponašanje mašine sa više traka. Ključni uvid je da iako mašina sa jednom trakom može zahtevati više koraka da izvrši isto izračunavanje (zbog potrebe da se skenira traka i ažuriraju markeri), ona može tačno simulirati ponašanje mašine sa više traka.
Da bismo to ilustrirali konkretnim primjerom, razmotrimo Turingovu mašinu s 2 trake koja obavlja sljedeći zadatak: dat ulazni niz (w) na prvoj traci, kopira (w) na drugu traku. Funkcija prijelaza za mašinu s 2 trake može izgledati ovako:
1. Pročitajte prvi simbol prve trake.
2. Napišite isti simbol na drugu traku.
3. Pomaknite glavu na prvoj traci udesno.
4. Pomaknite glavu na drugoj traci udesno.
5. Ponavljajte sve dok se ne dostigne kraj ulaznog niza.
Da bismo ovo simulirali sa Turing mašinom sa jednom trakom, predstavljamo dve trake na jednoj traci sa graničnikom ( # ) i markerima ( uparrow ):
[ # w uparrow # uparrow ]Prijelazna funkcija stroja za jednu traku bi uključivala skeniranje trake da bi se pronašle (usponske) markere, čitanje simbola ispod prvog markera, pisanje iza drugog markera, a zatim ažuriranje pozicija markera. Mašina sa jednom trakom bi morala da skenira napred-nazad, ali bi na kraju obavila isti zadatak.
Ova simulacija pokazuje da se bilo koje izračunavanje koje izvodi Turing mašina sa više traka može izvesti Turing mašinom sa jednom trakom, iako uz potencijalno povećanje broja potrebnih koraka. Ovo povećanje je obično polinomno u broju koraka mašine sa više traka, što znači da je mašina sa jednom trakom najviše polinomski sporija.
Ekvivalencija Turingovih mašina sa više i jedne trake ima značajne implikacije za teoriju složenosti računara. Pokazuje da broj traka ne utiče na klasu jezika o kojima se odlučuje Turingovim mašinama (klasa rekurzivnih jezika) i klasu jezika koje prepoznaju Tjuringove mašine (klasa rekurzivno nabrojivih jezika). Ova ekvivalencija također podržava Church-Turingovu tezu, koja tvrdi da se bilo koja efektivno izračunljiva funkcija može izračunati Turingovom mašinom.
Nadalje, ova ekvivalencija je temeljna za razumijevanje klasa složenosti kao što su P (polinomsko vrijeme) i NP (nedeterminističko polinomsko vrijeme). Simulacija Turing mašina sa više traka pomoću Turing mašina sa jednom trakom osigurava da ove klase složenosti ostanu dobro definisane i robusne, bez obzira na specifični model koji se koristi.
Svaka Turing mašina sa više traka može se simulirati pomoću ekvivalentne Turing mašine sa jednom trakom. Ova ekvivalencija naglašava robusnost modela Turingove mašine i njegovu centralnu ulogu u teoriji računanja. Proces simulacije, iako potencijalno povećava broj potrebnih koraka, čuva osnovne računske sposobnosti mašine.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi EITC/IS/CCTF Osnove teorije računske složenosti:
- Da li su regularni jezici ekvivalentni sa konačnim mašinama?
- Zar PSPACE klasa nije jednaka klasi EXPSPACE?
- Da li je algoritamski izračunljiv problem problem koji se može izračunati Turingovom mašinom u skladu sa Church-Turing tezom?
- Koje je svojstvo zatvaranja regularnih jezika pod konkatenacijom? Kako su konačne mašine kombinovane da predstavljaju uniju jezika koje prepoznaju dve mašine?
- Može li se svaki proizvoljni problem izraziti jezikom?
- Da li je P klasa složenosti podskup klase PSPACE?
- Koji su rezultati predikata?
- Da li su lambda račun i Turingove mašine izračunljivi modeli koji odgovara na pitanje šta znači izračunljiv?
- Možemo li dokazati da su Np i P klasa iste pronalaženjem efikasnog polinomskog rješenja za bilo koji NP kompletan problem na determinističkom TM?
- Može li postojati Turingova mašina koja bi bila nepromijenjena transformacijom?