Da li su lambda račun i Turingove mašine izračunljivi modeli koji odgovara na pitanje šta znači izračunljiv?
Lambda račun i Turingove mašine su zaista temeljni modeli u teorijskoj kompjuterskoj nauci koji se bave fundamentalnim pitanjem šta znači da funkcija ili problem može biti izračunljiv. Oba modela su neovisno razvijena 1930-ih godina – lambda račun od strane Alonzo Churcha i Turingove mašine od Alana Turinga – i od tada se pokazalo da su ekvivalentni u smislu njihove računske snage. Ova ekvivalencija je kamen temeljac Church-Turing teze, koja postavlja da se bilo koja funkcija koja se može izračunati algoritmom može izračunati Turingovom mašinom, a time i lambda računom.
Lambda račun je formalni sistem u matematičkoj logici i računarstvu za izražavanje računanja zasnovanog na apstrakciji i primeni funkcije. Koristi varijabilno vezivanje i supstituciju da bi se to postiglo. Lambda izraz, kao što je λx.x+1, definira anonimnu funkciju koja uzima argument x i vraća x+1. Lambda račun nije samo alat za proučavanje izračunljivosti, već takođe čini osnovu za funkcionalne programske jezike kao što su Haskell i Lisp.
Turingove mašine, s druge strane, pružaju više mehanički model računanja. Turingova mašina se sastoji od beskonačne trake podijeljene na ćelije, od kojih svaka može sadržavati simbol iz konačnog alfabeta. Mašina ima glavu koja može čitati i pisati simbole na traci i kretati se lijevo ili desno. Akcije mašine određene su konačnim skupom pravila na osnovu trenutnog stanja i simbola koji se čita. Turingove mašine su posebno korisne za formalizovanje koncepta algoritama i osnova su za mnoge rezultate u teoriji složenosti računara.
Church-Turingova teza tvrdi da intuitivni pojam algoritma tačno odgovara formalnom pojmu izračunljivosti koji pružaju ovi modeli. Ova teza nije matematička teorema koja se može dokazati; radije, to je hipoteza o prirodi računanja. Unatoč tome, stekao je široko prihvaćenost zbog svoje robusnosti i činjenice da nisu pronađeni protuprimjeri.
Da biste ilustrirali ekvivalentnost lambda računa i Turingovih mašina, razmotrite problem izračunavanja faktorijala broja. U lambda računu, ovo se može izraziti pomoću rekurzivne funkcije:
Y = λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x)) FAC = λf.λn.(n 0 1 (λx.λy.y (f x y)))
Ovdje je `Y` Y-kombinator, koji dozvoljava definiciju rekurzivnih funkcija, a `FAC` je faktorijalna funkcija. Kada se primeni na broj, `FAC` će izračunati faktorijel koristeći pravila lambda računa.
U kontekstu Tjuringove mašine, faktorijalna funkcija se može implementirati korišćenjem niza stanja i prelaza koji manipulišu trakom za iterativno izvođenje operacija množenja i smanjenja. Mašina bi počela sa ulaznim brojem na traci, a kroz niz stanja bi zapisala faktorijel tog broja na traci.
Ekvivalencija ova dva modela znači da se bilo koja funkcija koja se može izračunati lambda izrazom također može izračunati Turingovom mašinom, i obrnuto. Ova ekvivalencija je temeljna za mnoga područja računarske nauke, uključujući teoriju programskih jezika, gdje se koncepti iz lambda računa koriste za dizajniranje i analizu jezika, i teoriju računanja, gdje se Turingove mašine koriste za proučavanje granica onoga što može biti izračunati.
Štaviše, Church-Turingova teza ima implikacije za područje kibernetičke sigurnosti, posebno u kontekstu kriptografskih algoritama i analize njihove računske složenosti. Razumijevanje onoga što se može izračunati i koliko efikasno se to može učiniti važno je za dizajniranje sigurnih kriptografskih sistema. Na primjer, sigurnost mnogih kriptografskih protokola se oslanja na pretpostavku da su određeni problemi (kao što je faktoring velikih cijelih brojeva ili računanje diskretnih logaritama) računski neizvodljivi za bilo koju Turingovu mašinu za rješavanje u razumnom vremenskom periodu.
Osim toga, proučavanje Turingovih mašina i lambda računa pruža uvid u prirodu neodlučivih problema – problema za koje ne može postojati algoritam koji uvijek vodi do tačnog da ili ne odgovora. Klasičan primjer je problem zaustavljanja, koji pita da li će se data Turingova mašina zaustaviti na datom ulazu. Alan Turing je dokazao da je ovaj problem neodlučiv, što znači da ne postoji opšti algoritam koji ga može riješiti za sve moguće ulaze.
Ovo shvatanje neodlučnosti ima praktične implikacije u sajber bezbednosti, posebno u analizi softvera i sistema. Na primjer, to implicira da ne može postojati opći algoritam koji može otkriti sve moguće ranjivosti u komadu softvera, jer bi to zahtijevalo rješavanje neodlučivog problema. Umjesto toga, stručnjaci za kibernetičku sigurnost moraju se osloniti na heurističke metode, alate za statičku analizu i praćenje vremena rada kako bi identificirali i ublažili sigurnosne rizike.
Lambda račun i Tjuringove mašine su zaista izračunljivi modeli koji pružaju rigoroznu osnovu za razumevanje šta znači da funkcija ili problem budu izračunljivi. Njihova ekvivalencija, kako je utvrđeno Church-Turing tezom, ima duboke implikacije za teorijsku informatiku i praktične primjene u područjima kao što su dizajn programskog jezika i sajber sigurnost.
Ostala nedavna pitanja i odgovori u vezi EITC/IS/CCTF Osnove teorije računske složenosti:
- Da li su regularni jezici ekvivalentni sa konačnim mašinama?
- Zar PSPACE klasa nije jednaka klasi EXPSPACE?
- Da li je algoritamski izračunljiv problem problem koji se može izračunati Turingovom mašinom u skladu sa Church-Turing tezom?
- Koje je svojstvo zatvaranja regularnih jezika pod konkatenacijom? Kako su konačne mašine kombinovane da predstavljaju uniju jezika koje prepoznaju dve mašine?
- Može li se svaki proizvoljni problem izraziti jezikom?
- Da li je P klasa složenosti podskup klase PSPACE?
- Da li svaka Turing mašina sa više traka ima ekvivalentnu Turing mašinu sa jednom trakom?
- Koji su rezultati predikata?
- Možemo li dokazati da su Np i P klasa iste pronalaženjem efikasnog polinomskog rješenja za bilo koji NP kompletan problem na determinističkom TM?
- Može li postojati Turingova mašina koja bi bila nepromijenjena transformacijom?